Comment prouvez-vous que la différence entre tout entier impair et tout entier pair est impaire?


Réponse 1:

Prouvons-le par contradiction, c'est-à-dire supposons que la différence entre un entier impair et un entier pair est paire. Supposons un entier impair de la forme 2m + 1, où m> 0. Prenons maintenant un autre entier 2n, n> 0. Supposons également que l'entier pair soit inférieur à l'entier impair en question. Donc 2m + 1 - 2n = 2k (disons). Résoudre l'équation sur LHS donne:

2 (mn) + 1 = 2k. Maintenant, la valeur sur le LHS est clairement de la forme 2a + 1, où a = m - n, donc LHS est un nombre impair tandis que RHS est un nombre pair. Notre hypothèse d'origine est donc fausse. Ainsi, il est prouvé que la différence entre un nombre impair et un nombre pair est toujours impaire.


Réponse 2:

Prenez un entier pair a et un entier impair b.

Vous pouvez écrire a comme 2x, où x est un entier, et b comme 2y, où y n'est pas un entier (par définition de impair).

Nous voulons montrer que 2x-2y est impair.

Procéder par contradiction:

Supposons que 2x-2y soit pair.

=> 2 (xy) = c, un entier pair

=> xy = c / 2, un entier.

=> y = x + c / 2

=> y est un entier

=> une contradiction a été trouvée


Réponse 3:

Nous pouvons exprimer l'entier impair comme

2x+12x+1

et le même que

2y2y

, où

xx

et

yy

sont des entiers. Ensuite, la différence est

2x+12y=2(xy)+12x+1-2y = 2(x-y) + 1

. Puisque la différence n'est pas divisible par 2, elle est impaire.

Alternativement, nous pouvons utiliser l'arithmétique modulaire pour le prouver. Soit l'entier impair

mm

et l'entier pair

nn

. Alors,

m1mod2m \equiv 1 \bmod 2

et

n0mod2n \equiv 0 \bmod 2

. Donc,

(mn)(10)mod21mod2(m-n) \equiv (1-0)\bmod 2 \equiv 1 \bmod 2

. Puisque la différence est congrue à 1 mod 2, elle est étrange.