Comment comprenez-vous la différence entre quelque chose d'infiniment petit et quelque chose d'inexistant? Se distinguent-ils en termes réels? https://www.youtube.com/watch?v=_mMuLwNR0J8


Réponse 1:

Rien n'est infiniment petit dans le monde réel; infiniment petit est une fiction mathématique (très utile). Il existe une longueur, la longueur de Planck, au-delà de laquelle il est impossible de déterminer la distance, comme un flou ultime de la réalité. C'est si petit que pour presque toutes les fins pratiques, nous pouvons considérer l'espace comme continu, et travailler avec lui mathématiquement comme s'il était continu et pourrait toujours être divisé davantage.

L'infini, ou infiniment petit, ne sont pas des nombres ordinaires. Ils sont définis comme des limites dans un processus. L'infini est le nombre qui est plus grand que n'importe quel nombre que vous nommez et infiniment petit pourrait être défini comme son inverse (1 / x).

Mathématiquement, la chose utile que vous pouvez faire avec des nombres infiniment petits est de les comparer à d'autres nombres infiniment petits. Leurs rapports et relations sont utilisés dans le calcul différentiel pour faire toutes sortes de choses utiles comme calculer la trajectoire d'une balle qui tombe ou d'une planète. On pourrait dire que la distance infiniment petite parcourue par un objet divisée par le temps infiniment petit lui a pris la vitesse instantanée de l'objet. Nous ne pouvons pas mesurer le temps ou la distance mais nous savons que l'objet se déplace à une certaine vitesse. Plus tard, l'objet a une vitesse différente, nous savons donc que le rapport distance / temps a changé. Nous ne nous soucions pas des nombres réels pour la distance parcourue et le temps pris - ils sont juste infiniment petits - mais nous nous soucions du rapport - c'est-à-dire de la vitesse - et de la façon dont il change au fil du temps, en réponse aux forces appliquées.


Réponse 2:

Très souvent, nous avons tendance à être confus entre une approximation et la valeur réelle.

Approximation: Vous n'avez souvent pas besoin de précision dans votre mesure (et son coût pour être précis). Donc, vous faites des compromis avec une tolérance acceptable pour l'approximation - donc toute chose plus petite que la tolérance est essentiellement ignorée.

Valeur réelle: Maintenant, la valeur réelle est presque impossible à mesurer (considérez la tâche de mesurer la longueur d'une table à un niveau atomique ou subatomique). Mais il faut reconnaître l'existence d'une valeur réelle et faire la paix avec le fait que la plupart de nos mesures sont des approximations.

Revenons maintenant à votre question (la réponse réside dans votre question elle-même): la différence entre une valeur infinitésimale faible et aucune valeur est simplement l'existence d'une certaine valeur (même si elle est infinitésimale petite, ce n'est pas «0»).

Dans le monde réel, la capacité de distinguer les deux dépend beaucoup de votre outil de mesure. Chaque outil de mesure a un facteur d'erreur lié (encore à découvrir un outil de mesure avec une erreur «0»). Il n'est donc pas possible de les distinguer aujourd'hui.

Même le vide que nous pouvons créer n'est pas un vide parfait - ce qui signifie que nous devons encore créer un espace qui est à 100% vide de toute matière avec la technologie existante. Nous traçons une ligne au plus économique presque vide et nous allons de l'avant avec ce que nous voulons faire.

J'espère que cette réponse a aidé dans une certaine mesure, la révisera si vous pouvez donner plus de clarté sur la question.


Réponse 3:

En analyse standard, vous ne pouvez pas. Si vous ne pouvez pas trouver un nombre réel entre votre infinitésimal et zéro, alors le nombre est zéro. De même, si vous avez deux nombres réels et que vous ne pouvez pas trouver de réel entre eux, ils sont égaux.

Dans d'autres systèmes de nombres ordonnés, tels que les hyperréalités ou les surréalistes, les infinitésimaux non nuls sont intégrés dans la structure et sont distincts de zéro. En fait, vous vous retrouvez avec un nombre infini d'infinitésimaux distincts les uns des autres. La même chose se produit avec une multitude de valeurs infinies.

Jetez donc un œil aux types d'objets et d'axiomes avec lesquels vous travaillez et voyez s'ils sont cohérents.