Quelle est la différence entre un ensemble borné et un ensemble fermé?


Réponse 1:

Un ensemble borné est défini, eh bien, lorsque vous avez un moyen de savoir s'il est borné ou non. Habituellement, cela signifie que vous avez besoin d'un moyen de dire la distance entre deux choses dans un ensemble. C'est ce qu'on appelle une métrique. Une fois que vous avez cela, alors un ensemble borné est un ensemble où chaque élément est au maximum à une distance finie les uns des autres, donc borné.

Un ensemble fermé a une définition assez banale; que son complément est ouvert. Cependant, dans les espaces Hausdorff, il acquiert une caractéristique assez intéressante. Si vous avez une séquence convergente d'éléments dans un ensemble fermé, elle ne «fuira» jamais hors de l'ensemble. Techniquement, la séquence converge vers un élément de l'ensemble fermé.

Si vous ne comprenez pas bien ce que sont les espaces Hausdorff, supposez simplement que chaque exemple possible d'un espace auquel vous pouvez penser est Hausdorff.


Réponse 2:

Un ensemble est fermé si l'ensemble contient tous ses points limites (la fermeture de l'ensemble est égale à l'ensemble). Il existe également d'autres définitions de fermé. (voir souce)

Un ensemble est borné si la distance entre deux points quelconques de l'ensemble est inférieure à une constante finie. Un ensemble dans R ^ n est borné si tous les points sont contenus dans un disque de rayon fini.