Quelle est la différence entre un lagrangien et un hamiltonien?


Réponse 1:

Je suppose que vous n'avez pas étudié la mécanique analytique ou la mécanique en 4e année ou au niveau universitaire. C'est là que vous récupérerez les éléments pertinents du calcul des variations pour comprendre cela.

 

Le lagrangien et le hamiltonien fournissent des descriptions alternatives mais équivalentes d'un système physique. Ils se sont liés par une transformation mathématique appelée «Transformation de Legendre». Fondamentalement, tout problème qui peut être formulé en utilisant un lagrangien peut être transformé en un problème équivalent en utilisant le hamiltonien, et vice versa. Le choix entre l'utilisation de l'un ou de l'autre se résume à celui qui donne un problème plus facile à traiter en mathématiques.

 

Dans l'étude des mathématiques de l'optimisation, les deux problèmes seraient appelés "duels" l'un de l'autre. En fait, toute la question des lagrangiens et des hamiltoniens devient plus claire lorsque les mathématiques de l'optimisation sont clairement gardées à l'esprit. Cependant, la façon dont la physique est souvent présentée, l'aspect optimisation du problème physique peut aller et venir avec une sorte de vitesse "si vous clignez des yeux, vous allez le manquer".


Réponse 2:

12mx˙2\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2

12kx2\frac{1}{2}kx^2

Lx ddtLx˙=0\frac{\partial L}{\partial x}  - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

LL

xx

x˙\dot{x}

L=12mx˙212kx2L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}kx^2

kxmx¨=0-kx-m\ddot{x}=0

Hx=p˙\frac{\partial H}{\partial x} = -\dot{p}

Hp=x˙\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{x}

HH

xx

pp

p=mx˙p=m\dot{x}

H=p22m+12kx2H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

kx=p˙kx = -\dot{p}

pm=x˙\frac{p}{m}=\dot{x}

H=x˙Lx˙LH = \dot{x} \frac{\partial L}{\dot x}-L


Réponse 3:

D'une certaine manière, il n'y a pas de différence fondamentale entre la mécanique newtonienne, la mécanique lagrangienne et la mécanique hamiltonienne. Ils vous fourniront tous des solutions équivalentes pour l'évolution temporelle d'un système. Le Lagrangien et l'Hiltonien sont des transformations de Legendre l'un de l'autre. Essentiellement, le lagrangien vous permet de travailler dans l'espace de configuration et le hamiltonien vous permet de travailler dans un espace de phase. Lequel vous utilisez pour un problème donné se résume vraiment à celui qui est plus pratique ou plus facile à résoudre. Pour un système avec un espace de configuration de dimension n, les équations de Hamilton sont un ensemble de 2n équations différentielles couplées de premier ordre tandis que les équations d'Euler-Lagrange sont un ensemble de n équations différentielles non couplées de second ordre.


Réponse 4:

En mécanique quantique non relativiste, l'opérateur hamiltonien s'avère être la chose qui fait avancer l'état du système dans le temps. Voilà pourquoi vous avez l'équation

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Une façon un peu plus technique de le dire est "l'opérateur hamiltonien est le générateur de la traduction du temps".

D'un autre côté, lorsque vous passez à la théorie des champs quantiques, un objectif majeur est de vous assurer que tout est cohérent avec la relativité - en d'autres termes, vous aimeriez que la théorie soit explicitement invariante de Lorentz. Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'hamiltonien (et en fait le concept entier de l'équation de Schrödinger) n'est * pas * explicitement invariant de Lorentz, simplement parce qu'il sépare le temps mort des coordonnées spatiales comme quelque chose de spécial. En outre, comme vous vous en souvenez peut-être de la mécanique lagrangienne, le hamiltonien est atteint en premier lieu en effectuant une transformation de Legendre sur le lagrangien:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Ce qui encore une fois sépare spécifiquement le temps mort comme quelque chose de spécial. Dans QFT, vous ne voulez pas cela. Cela nous ramène au concept de la densité lagrangienne, qui facilement * peut * être rendue explicitement invariante de Lorentz. Par exemple, le QFT le plus simple possible est la théorie scalaire du champ libre, et a la densité lagrangienne suivante:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Parce que les indices correspondent correctement, cette quantité est clairement inchangée lors d'une transformation de Lorentz, et donc toute la physique dérivée à partir de ce moment l'est également. C'est la raison principale pour laquelle la densité lagrangienne devrait être utilisée à la place de la densité hamiltonienne dans QFT.

Il convient de noter qu'il est * possible * d'utiliser une densité hamiltonienne dans le QFT relativiste, mais elle est beaucoup plus compliquée en raison de la séparation explicite de l'espace et du temps du hamiltonien, de sorte qu'elle est généralement rejetée en faveur de la densité lagrangienne.

EDIT: Ma réponse a été fusionnée à une question différente - l'explication de la question initiale à laquelle j'ai répondu mentionnait spécifiquement l'utilisation de l'opérateur hamiltonien en mécanique quantique non relativiste par rapport à l'utilisation de la densité lagrangienne en physique des particules / théorie des champs quantiques.


Réponse 5:

En mécanique quantique non relativiste, l'opérateur hamiltonien s'avère être la chose qui fait avancer l'état du système dans le temps. Voilà pourquoi vous avez l'équation

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Une façon un peu plus technique de le dire est "l'opérateur hamiltonien est le générateur de la traduction du temps".

D'un autre côté, lorsque vous passez à la théorie des champs quantiques, un objectif majeur est de vous assurer que tout est cohérent avec la relativité - en d'autres termes, vous aimeriez que la théorie soit explicitement invariante de Lorentz. Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'hamiltonien (et en fait le concept entier de l'équation de Schrödinger) n'est * pas * explicitement invariant de Lorentz, simplement parce qu'il sépare le temps mort des coordonnées spatiales comme quelque chose de spécial. En outre, comme vous vous en souvenez peut-être de la mécanique lagrangienne, le hamiltonien est atteint en premier lieu en effectuant une transformation de Legendre sur le lagrangien:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Ce qui encore une fois sépare spécifiquement le temps mort comme quelque chose de spécial. Dans QFT, vous ne voulez pas cela. Cela nous ramène au concept de la densité lagrangienne, qui facilement * peut * être rendue explicitement invariante de Lorentz. Par exemple, le QFT le plus simple possible est la théorie scalaire du champ libre, et a la densité lagrangienne suivante:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Parce que les indices correspondent correctement, cette quantité est clairement inchangée lors d'une transformation de Lorentz, et donc toute la physique dérivée à partir de ce moment l'est également. C'est la raison principale pour laquelle la densité lagrangienne devrait être utilisée à la place de la densité hamiltonienne dans QFT.

Il convient de noter qu'il est * possible * d'utiliser une densité hamiltonienne dans le QFT relativiste, mais elle est beaucoup plus compliquée en raison de la séparation explicite de l'espace et du temps du hamiltonien, de sorte qu'elle est généralement rejetée en faveur de la densité lagrangienne.

EDIT: Ma réponse a été fusionnée à une question différente - l'explication de la question initiale à laquelle j'ai répondu mentionnait spécifiquement l'utilisation de l'opérateur hamiltonien en mécanique quantique non relativiste par rapport à l'utilisation de la densité lagrangienne en physique des particules / théorie des champs quantiques.


Réponse 6:

En mécanique quantique non relativiste, l'opérateur hamiltonien s'avère être la chose qui fait avancer l'état du système dans le temps. Voilà pourquoi vous avez l'équation

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Une façon un peu plus technique de le dire est "l'opérateur hamiltonien est le générateur de la traduction du temps".

D'un autre côté, lorsque vous passez à la théorie des champs quantiques, un objectif majeur est de vous assurer que tout est cohérent avec la relativité - en d'autres termes, vous aimeriez que la théorie soit explicitement invariante de Lorentz. Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'hamiltonien (et en fait le concept entier de l'équation de Schrödinger) n'est * pas * explicitement invariant de Lorentz, simplement parce qu'il sépare le temps mort des coordonnées spatiales comme quelque chose de spécial. En outre, comme vous vous en souvenez peut-être de la mécanique lagrangienne, le hamiltonien est atteint en premier lieu en effectuant une transformation de Legendre sur le lagrangien:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Ce qui encore une fois sépare spécifiquement le temps mort comme quelque chose de spécial. Dans QFT, vous ne voulez pas cela. Cela nous ramène au concept de la densité lagrangienne, qui facilement * peut * être rendue explicitement invariante de Lorentz. Par exemple, le QFT le plus simple possible est la théorie scalaire du champ libre, et a la densité lagrangienne suivante:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Parce que les indices correspondent correctement, cette quantité est clairement inchangée lors d'une transformation de Lorentz, et donc toute la physique dérivée à partir de ce moment l'est également. C'est la raison principale pour laquelle la densité lagrangienne devrait être utilisée à la place de la densité hamiltonienne dans QFT.

Il convient de noter qu'il est * possible * d'utiliser une densité hamiltonienne dans le QFT relativiste, mais elle est beaucoup plus compliquée en raison de la séparation explicite de l'espace et du temps du hamiltonien, de sorte qu'elle est généralement rejetée en faveur de la densité lagrangienne.

EDIT: Ma réponse a été fusionnée à une question différente - l'explication de la question initiale à laquelle j'ai répondu mentionnait spécifiquement l'utilisation de l'opérateur hamiltonien en mécanique quantique non relativiste par rapport à l'utilisation de la densité lagrangienne en physique des particules / théorie des champs quantiques.


Réponse 7:

En mécanique quantique non relativiste, l'opérateur hamiltonien s'avère être la chose qui fait avancer l'état du système dans le temps. Voilà pourquoi vous avez l'équation

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Une façon un peu plus technique de le dire est "l'opérateur hamiltonien est le générateur de la traduction du temps".

D'un autre côté, lorsque vous passez à la théorie des champs quantiques, un objectif majeur est de vous assurer que tout est cohérent avec la relativité - en d'autres termes, vous aimeriez que la théorie soit explicitement invariante de Lorentz. Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'hamiltonien (et en fait le concept entier de l'équation de Schrödinger) n'est * pas * explicitement invariant de Lorentz, simplement parce qu'il sépare le temps mort des coordonnées spatiales comme quelque chose de spécial. En outre, comme vous vous en souvenez peut-être de la mécanique lagrangienne, le hamiltonien est atteint en premier lieu en effectuant une transformation de Legendre sur le lagrangien:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Ce qui encore une fois sépare spécifiquement le temps mort comme quelque chose de spécial. Dans QFT, vous ne voulez pas cela. Cela nous ramène au concept de la densité lagrangienne, qui facilement * peut * être rendue explicitement invariante de Lorentz. Par exemple, le QFT le plus simple possible est la théorie scalaire du champ libre, et a la densité lagrangienne suivante:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Parce que les indices correspondent correctement, cette quantité est clairement inchangée lors d'une transformation de Lorentz, et donc toute la physique dérivée à partir de ce moment l'est également. C'est la raison principale pour laquelle la densité lagrangienne devrait être utilisée à la place de la densité hamiltonienne dans QFT.

Il convient de noter qu'il est * possible * d'utiliser une densité hamiltonienne dans le QFT relativiste, mais elle est beaucoup plus compliquée en raison de la séparation explicite de l'espace et du temps du hamiltonien, de sorte qu'elle est généralement rejetée en faveur de la densité lagrangienne.

EDIT: Ma réponse a été fusionnée à une question différente - l'explication de la question initiale à laquelle j'ai répondu mentionnait spécifiquement l'utilisation de l'opérateur hamiltonien en mécanique quantique non relativiste par rapport à l'utilisation de la densité lagrangienne en physique des particules / théorie des champs quantiques.


Réponse 8:

En mécanique quantique non relativiste, l'opérateur hamiltonien s'avère être la chose qui fait avancer l'état du système dans le temps. Voilà pourquoi vous avez l'équation

YouintegratetheLagrangianwithrespecttotimetogetaquantitycalledtheaction,andtheactiondeterminesthedynamicsofthesystembyHamiltonsprinciple(yes,Iknowthenameisconfusing).Thisprinciplestatesthatthesystemevolvesinsuchawaysothattheactionisstationarywithrespecttoperturbationsthatleavetheboundaryconditions(i.e.,initialandfinalstate)constant.Forexample,ifaparticletravelsfrompointAtopointBovertheintervaloftime[t1,t2],theactionofthepathittakesmustbestationarywithinthespaceofallpathsfromAtoBwhichstartattime[math]t1[/math]andendattime[math]t2[/math].ThesolutiontothisvariationalproblemisgivenbytheEulerLagrangeequations.You integrate the Lagrangian with respect to time to get a quantity called the action, and the action determines the dynamics of the system by Hamilton's principle (yes, I know the name is confusing). This principle states that the system evolves in such a way so that the action is stationary with respect to perturbations that leave the boundary conditions (i.e., initial and final state) constant. For example, if a particle travels from point A to point B over the interval of time [t_1, t_2], the action of the path it takes must be stationary within the space of all paths from A to B which start at time [math]t_1[/math] and end at time [math]t_2[/math]. The solution to this variational problem is given by the Euler--Lagrange equations.

AsfortheHamiltonian,onceyouwritedowntheHamiltonian,youcanmuchmoredirectlywritedownthetimeevolutionofthesystem,inthesensethatifthesystemisdescribedbythevariables(q1,,qN,p1,,pN),youcanimmediatelycompute[math]q˙1,,q˙N,p˙1,,p˙N[/math]soyoucanpredictwhatstatethesystemwillevolveintoafteraninfinitesimalintervaloftimeelapses.(Inclassicalmechanics,togetthesetimederivatives,youactuallyhavetocomputederivativesoftheHamiltonian,butinquantummechanics,itisevensimpler,andtheHamiltonianisjustanoperatorwhichactsonthestatetoimmediatelygivethetimederivativeofthestate,uptoaconstantfactor.)ButbecausetheHamiltonianisdesignedtoletyouevolvethesysteminaparticulartimedirection,itisnotmanifestlyLorentzinvariantthewaytheLagrangianis.As for the Hamiltonian, once you write down the Hamiltonian, you can much more directly write down the time evolution of the system, in the sense that if the system is described by the variables (q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N), you can immediately compute [math]\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_N, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_N[/math] so you can predict what state the system will evolve into after an infinitesimal interval of time elapses. (In classical mechanics, to get these time derivatives, you actually have to compute derivatives of the Hamiltonian, but in quantum mechanics, it is even simpler, and the Hamiltonian is just an operator which acts on the state to immediately give the time derivative of the state, up to a constant factor.) But because the Hamiltonian is designed to let you evolve the system in a particular time direction, it is not manifestly Lorentz-invariant the way the Lagrangian is.

D'un autre côté, lorsque vous passez à la théorie des champs quantiques, un objectif majeur est de vous assurer que tout est cohérent avec la relativité - en d'autres termes, vous aimeriez que la théorie soit explicitement invariante de Lorentz. Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'hamiltonien (et en fait le concept entier de l'équation de Schrödinger) n'est * pas * explicitement invariant de Lorentz, simplement parce qu'il sépare le temps mort des coordonnées spatiales comme quelque chose de spécial. En outre, comme vous vous en souvenez peut-être de la mécanique lagrangienne, le hamiltonien est atteint en premier lieu en effectuant une transformation de Legendre sur le lagrangien:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Ce qui encore une fois sépare spécifiquement le temps mort comme quelque chose de spécial. Dans QFT, vous ne voulez pas cela. Cela nous ramène au concept de la densité lagrangienne, qui facilement * peut * être rendue explicitement invariante de Lorentz. Par exemple, le QFT le plus simple possible est la théorie scalaire du champ libre, et a la densité lagrangienne suivante:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Parce que les indices correspondent correctement, cette quantité est clairement inchangée lors d'une transformation de Lorentz, et donc toute la physique dérivée à partir de ce moment l'est également. C'est la raison principale pour laquelle la densité lagrangienne devrait être utilisée à la place de la densité hamiltonienne dans QFT.

Il convient de noter qu'il est * possible * d'utiliser une densité hamiltonienne dans le QFT relativiste, mais elle est beaucoup plus compliquée en raison de la séparation explicite de l'espace et du temps du hamiltonien, de sorte qu'elle est généralement rejetée en faveur de la densité lagrangienne.

EDIT: Ma réponse a été fusionnée à une question différente - l'explication de la question initiale à laquelle j'ai répondu mentionnait spécifiquement l'utilisation de l'opérateur hamiltonien en mécanique quantique non relativiste par rapport à l'utilisation de la densité lagrangienne en physique des particules / théorie des champs quantiques.


Réponse 9:

En mécanique quantique non relativiste, l'opérateur hamiltonien s'avère être la chose qui fait avancer l'état du système dans le temps. Voilà pourquoi vous avez l'équation

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Une façon un peu plus technique de le dire est "l'opérateur hamiltonien est le générateur de la traduction du temps".

D'un autre côté, lorsque vous passez à la théorie des champs quantiques, un objectif majeur est de vous assurer que tout est cohérent avec la relativité - en d'autres termes, vous aimeriez que la théorie soit explicitement invariante de Lorentz. Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'hamiltonien (et en fait le concept entier de l'équation de Schrödinger) n'est * pas * explicitement invariant de Lorentz, simplement parce qu'il sépare le temps mort des coordonnées spatiales comme quelque chose de spécial. En outre, comme vous vous en souvenez peut-être de la mécanique lagrangienne, le hamiltonien est atteint en premier lieu en effectuant une transformation de Legendre sur le lagrangien:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Ce qui encore une fois sépare spécifiquement le temps mort comme quelque chose de spécial. Dans QFT, vous ne voulez pas cela. Cela nous ramène au concept de la densité lagrangienne, qui facilement * peut * être rendue explicitement invariante de Lorentz. Par exemple, le QFT le plus simple possible est la théorie scalaire du champ libre, et a la densité lagrangienne suivante:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Parce que les indices correspondent correctement, cette quantité est clairement inchangée lors d'une transformation de Lorentz, et donc toute la physique dérivée à partir de ce moment l'est également. C'est la raison principale pour laquelle la densité lagrangienne devrait être utilisée à la place de la densité hamiltonienne dans QFT.

Il convient de noter qu'il est * possible * d'utiliser une densité hamiltonienne dans le QFT relativiste, mais elle est beaucoup plus compliquée en raison de la séparation explicite de l'espace et du temps du hamiltonien, de sorte qu'elle est généralement rejetée en faveur de la densité lagrangienne.

EDIT: Ma réponse a été fusionnée à une question différente - l'explication de la question initiale à laquelle j'ai répondu mentionnait spécifiquement l'utilisation de l'opérateur hamiltonien en mécanique quantique non relativiste par rapport à l'utilisation de la densité lagrangienne en physique des particules / théorie des champs quantiques.