La différence?

Le parmesan est français *. Parmigiano-Reggiano est italien.

Les mots, c'est exactement le même fromage.

Cependant, certains vendeurs peu scrupuleux appellent n'importe quel fromage italien salé à pâte dure avec un goût de parmesan similaire, même si cela est illégal en Europe.

* Cela signifie qu'il devrait être prononcé avec un son régulier, pas ce son étrange qui semble si commun chez les Américains.