Quelle est la différence exacte entre la transformée de Fourier continue, la transformée de Fourier temporelle discrète (DTFT), la série de Fourier à transformée de Fourier discrète (DFT) et la série de Fourier discrète (DFS)? Dans quels cas est-on utilisé?


Réponse 1:

1. Transformation de Fourier à temps discret

La DTFT (Discrete Time Fourier Transform) n'est rien d'autre qu'un nom de fantaisie pour la transformée de Fourier d'une séquence discrète. Il est défini comme:

La variable de fréquence est continue, mais comme le signal lui-même est défini à des instants discrets, la transformée de Fourier résultante est également définie à des instants discrets. Le nombre de points de temps sera toujours infini, c'est juste qu'entre deux points de temps, vous aurez un nombre fini de points.

Nous savons également que la transformée de Fourier d'un signal échantillonné est une série de réplications du spectre du signal d'origine à des fréquences espacées par la fréquence d'échantillonnage.

Mathématiquement, cela s'exprime par

Ici T est la période d'échantillonnage, c'est donc une expression mathématique alternative pour le DTFT.

Comme nous pouvons le voir, le DTFT est périodique, avec une période égale à la fréquence d'échantillonnage. Par conséquent, nous représentons normalement DTFT sur une seule période, comme indiqué ci-dessous. Ceci est implicite dans la définition.

Mathématiquement, cette périodicité peut également être observée en notant la périodicité de l'exponentielle discrète (dans le temps)

Transformation de Fourier discrète

Mais le DTFT est difficile à évaluer sur un ordinateur, car un ordinateur ne fonctionne que sur un nombre fini de points. Ainsi, pour rendre possible l'évaluation du DTFT sur un ordinateur, nous choisissons un nombre fini de points de fréquence. Cela équivaut à échantillonner la transformée de Fourier en un certain nombre de points, appelée Transformation de Fourier discrète (DFT).

La convention générale consiste à utiliser N fréquences séparées par 2 * pi / N radians. 2 * pi correspond à la variation de fréquence angulaire sur un cycle de la forme d'onde d'origine (le cycle sur lequel nous prenons les N échantillons de temps). Nous divisons cela en N «bins» de fréquence que nous indexons par une variable d'index k.

Mathématiquement, cela s'exprime comme

Puisque la DFT est fondamentalement la version échantillonnée de la DTFT, elle est également périodique, avec une période N (le nombre d'échantillons de fréquence prélevés). Par conséquent, la DFT est également représentée sur une «période» (période de fréquence discrète - N). Ceci est implicite dans la définition.

Mathématiquement, cette périodicité peut être observée en notant la périodicité de l'exponentielle discrète (en temps et en fréquence)

3.Série de Fourier discrète

La série Fourier utilise un nombre infini d'exponentielles complexes pour représenter un signal. Même si les fréquences du signal sont discrètes, il y en a une infinité. Le nombre de points de fréquence sera infini. Cependant, entre deux points de fréquence, vous aurez un nombre fini de points de fréquence. Vous avez donc un spectre discret.

Pour rendre possible l'évaluation d'une série de Fourier sur un ordinateur, nous choisissons un nombre fini de points de fréquence (exponentielles complexes) .Ceci est appelé une série de Fourier discrète (DFS). (Puisque la série de Fourier ne peut être utilisée que pour des signaux périodiques, vous avez un nombre fini d'échantillons sur une seule période du signal).

Comme pour la transformée de Fourier discrète, la convention consiste à utiliser N fréquences séparées par 2 * pi / N radians. Ici 2 * pi correspond à la variation angulaire sur une période, nous la divisons en N 'bins' de fréquence que nous indexons par une variable d'indice k.

Un signal discret est exprimé en utilisant le DFS comme suit:

où les coefficients complexes sont donnés par:

Comme vous pouvez le voir, il s'agit d'une combinaison linéaire de N exponentielles complexes discrètes:

Le DFS est également périodique avec la période N (le nombre d'échantillons prélevés sur une période). Elle est donc également représentée sur une période.

Mathématiquement, cette périodicité peut être vue en notant la périodicité des coefficients complexes:

Dans quels cas chacun est-il utilisé?

La série de Fourier et la transformée de Fourier peuvent toutes deux être utilisées pour des signaux périodiques et apériodiques.

Un signal périodique peut être exprimé dans le domaine temporel comme une série de Fourier, qui n'est rien d'autre qu'une série d'exponentielles. Nous savons maintenant que la transformée de Fourier d'une fonction exponentielle est une impulsion. Donc, si nous prenons la transformée de Fourier de ce signal, nous avons une série de fonctions impulsionnelles.

La transformée de Fourier d'un signal périodique est donc une série de fonctions impulsionnelles aux fréquences harmoniques. C'est un spectre discret, tout comme ce que nous avons obtenu avec la série de Fourier. Il n'y a aucune nouvelle information à ce sujet. Il s'agit simplement de déclarer que "la transformée de Fourier d'un signal périodique est discrète".

De même, nous pouvons représenter un signal apériodique en utilisant la série de Fourier comme suit.

Nous pouvons créer une fonction périodique en résumant (répétant) un nombre infini d'instances d'une fonction apériodique:

où P est la période de la fonction périodique résultante.

Maintenant,

fPf_P

peut être exprimée comme une série de Fourier complexe et il peut être démontré que les coefficients de la série de Fourier sont proportionnels aux échantillons de la transformée de Fourier de

f f

prises à des intervalles de 1 / P. Il s'agit en fait d'un cas particulier de la formule de la somme de Poisson. Voir ici pour une preuve (Page - 285 - Section - 8.2.1):

http: //www.siam.org/books/ot102 / ...

N'oubliez cependant pas qu'il existe des problèmes de convergence. Ainsi, l'un des deux pourrait être plus approprié dans certains cas. (J'écrirai plus à ce sujet lorsque le temps le permettra).

Maintenant, pour évaluer la transformée de Fourier ou la série de Fourier sur un ordinateur, vous devez rendre le nombre de points dans les domaines temporel et fréquentiel fini.

Discrétisation du domaine temporel:

Pour un signal périodique, puisque les informations sur une période décrivent le signal pour tous les temps, il vous suffit de prendre un nombre fini d'échantillons de temps sur une période et vous avez terminé.

Pour un signal apériodique, vous devez limiter dans le temps le signal et prélever des échantillons sur cette période pour le discrétiser dans le domaine temporel.

Discrétisation du domaine fréquentiel:

Pour la discrétisation du domaine fréquentiel, vous prenez simplement des points régulièrement espacés sur un cercle complexe (2 * pi radians) - c'est-à-dire une 'période' (pour un signal apériodique, la période représente ici l'intervalle sur lequel il a été limité dans le temps.)

Regarde aussi:

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Nikhil sur les signaux et les systèmes


Réponse 2:

La série de Fourier décompose un signal donné en sinusoïdes harmoniques discrètes. L'hypothèse est que le signal présenté est périodique. Les coefficients de la série de Fourier, appelés FSC, sont donc discrets. On dit que le spectre développé par la série de Fourier est discret, chaque fréquence étant séparée par f0, la fréquence la plus basse du signal.

La transformée de Fourier à temps continu (CTFT), est une modification de la série de Fourier telle que la période du signal est supposée s'étendre à l'infini comme le montre la figure 4.2 ci-dessus. Par conséquent, la résolution de fréquence devient maintenant très très petite. Les harmoniques sont maintenant si proches les unes des autres que le spectre devient continu comme nous le voyons dans la figure ci-dessous. Cependant, si vous calculez le CTFT d'un signal périodique, qui a une période bien définie, le CTFT est discret tout comme le FSC. (Très perturbant!)

DTFT

Ici, le signal est discret. Mais tout comme dans CTFT, ici, nous laissons également la période aller à l'infini comme dans la figure ci-dessous.

Et maintenant son spectre est également continu mais complique les choses, répète! Notez que CTFT est une intégrale et DTFT est une somme.

Si vous voulez comprendre en profondeur ce sujet, qui est d'une importance fondamentale dans le DSP et de nombreuses autres sciences, vous devriez lire mon livre (ces chiffres proviennent de mon livre.)

Ce n'est pas un sujet bien enseigné dans les universités comme il se doit.

Les chiffres contenus ici sont tirés du «Guide intuitif de l'analyse de Fourier et de l'estimation spectrale»

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Réponse 3:

La série de Fourier décompose un signal donné en sinusoïdes harmoniques discrètes. L'hypothèse est que le signal présenté est périodique. Les coefficients de la série de Fourier, appelés FSC, sont donc discrets. On dit que le spectre développé par la série de Fourier est discret, chaque fréquence étant séparée par f0, la fréquence la plus basse du signal.

La transformée de Fourier à temps continu (CTFT), est une modification de la série de Fourier telle que la période du signal est supposée s'étendre à l'infini comme le montre la figure 4.2 ci-dessus. Par conséquent, la résolution de fréquence devient maintenant très très petite. Les harmoniques sont maintenant si proches les unes des autres que le spectre devient continu comme nous le voyons dans la figure ci-dessous. Cependant, si vous calculez le CTFT d'un signal périodique, qui a une période bien définie, le CTFT est discret tout comme le FSC. (Très perturbant!)

DTFT

Ici, le signal est discret. Mais tout comme dans CTFT, ici, nous laissons également la période aller à l'infini comme dans la figure ci-dessous.

Et maintenant son spectre est également continu mais complique les choses, répète! Notez que CTFT est une intégrale et DTFT est une somme.

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Réponse 4:

La série de Fourier décompose un signal donné en sinusoïdes harmoniques discrètes. L'hypothèse est que le signal présenté est périodique. Les coefficients de la série de Fourier, appelés FSC, sont donc discrets. On dit que le spectre développé par la série de Fourier est discret, chaque fréquence étant séparée par f0, la fréquence la plus basse du signal.

La transformée de Fourier à temps continu (CTFT), est une modification de la série de Fourier telle que la période du signal est supposée s'étendre à l'infini comme le montre la figure 4.2 ci-dessus. Par conséquent, la résolution de fréquence devient maintenant très très petite. Les harmoniques sont maintenant si proches les unes des autres que le spectre devient continu comme nous le voyons dans la figure ci-dessous. Cependant, si vous calculez le CTFT d'un signal périodique, qui a une période bien définie, le CTFT est discret tout comme le FSC. (Très perturbant!)

DTFT

Ici, le signal est discret. Mais tout comme dans CTFT, ici, nous laissons également la période aller à l'infini comme dans la figure ci-dessous.

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