Quelle est la principale différence entre FEM et FVM dans CFD?


Réponse 1:

Les simulations de dynamique des fluides sont régies par un ensemble d'équations d'équilibre différentiel partiel, qui décrivent l'état d'un écoulement à un moment donné de l'espace-temps. L'obtention de la solution générale est rarement triviale, et parfois même impossible. Par conséquent, nous utilisons des méthodes numériques qui nous fournissent des solutions approximatives à ces équations. FEM (méthode des éléments finis) et FVM (méthode des volumes finis) sont deux des méthodes numériques les plus utilisées pour résoudre les équations, ce qui réduit finalement le système d'équations aux dérivées partielles en un système d'équations algébriques. Cependant, c'est là que s'arrêtent les similitudes. Les deux méthodes sont très différentes en ce qui concerne l'approche de modélisation décrite ci-dessous à l'aide d'exemples simples (sans les subtilités de chacune!).

Méthode des éléments finis:

FEM utilise des «éléments» qui sont utilisés pour discrétiser le volume de contrôle de flux et ces éléments imitent le comportement local du champ de flux. Ces éléments créent un ensemble d'équations, qui sont les équations de forme «faibles» du système. Cette forme «faible» a des dérivées d'ordre plus simples et plus simples que la forme «forte» d'origine de l'équation. La forme faible est généralement obtenue en multipliant l'équation gouvernante d'origine par une soi-disant «fonction de forme» et en l'intégrant dans le domaine. En d'autres termes:

Pour une équation gouvernante donnée:

ux=0,\frac{\partial u}{\partial x}=0 ,

(uxv)=0\int(\frac{\partial u}{\partial x}*v)=0

est l'intégrale pour obtenir une forme faible, où u est la variable étudiée, x est la variable indépendante et v est la fonction de forme. Après intégration, on obtient la forme faible et u est la solution faible de l'équation résultante.

Maintenant, le domaine considéré est d'abord discrétisé en éléments plus petits, chacun ayant une équation faible correspondante et une fonction de forme qui, ensemble, se rapprochent de l'équation d'origine. Pour l'ensemble du domaine, nous obtiendrions un système d'équations qui peut être résolu par des méthodes matricielles standard telles que l'élimination de Gauss, ou des méthodes différentielles numériques telles que Runge-Kutta, etc.

Méthode du volume fini:

La méthode des volumes finis, en contraste total avec la méthode des éléments finis, est bien plus évidente intuitivement en ce qui concerne les applications fluides / thermiques. Dans FVM, nous divisons directement le domaine en petits volumes (cellules) de formes simples et laissons le fluide s'écouler physiquement à travers ces cellules. Le mouvement fluide à travers ces cellules est régi par les équations régissant la conservation de la masse, de l'impulsion et de l'énergie. Ces équations gouvernantes sont intégrées à travers le volume de chaque cellule. Les flux sont approximés en supposant, par exemple, que le flux à l'entrée et à la sortie varie linéairement, convertissant ainsi l'équation intégrale en une équation algébrique. Les cellules successives ont des équations algébriques similaires, le flux de sortie précédent devenant le flux d'entrée de la cellule suivante. Les équations résultantes sont ensuite résolues simultanément à l'aide de méthodes matricielles.

En résumé, la différence existe principalement dans l'approche de modélisation. Les équations gouvernantes sont les mêmes et les méthodes de résolution des équations simultanées sont également les mêmes.