Quelle est la différence "physique" entre les produits scalaires et croisés de deux vecteurs?


Réponse 1:

Le produit Vector Dot est une opération algébrique qui prend deux séquences de nombres de longueur égale (généralement des vecteurs de coordonnées) et renvoie un nombre unique (en gardant l'analogie avec la multiplication des nombres réels).

Maintenant, Soit a & b sont deux vecteurs en coordonnées cartésiennes 3D

Selon la loi des cosinus au triangle AOB, nous obtenons,

où | AB | = | a - b | , | OA | = | a | , | OB | = | b | Donc,

Donc, la définition géométrique du produit Dot est (Du produit Dot - Wiki Roblox)

Pour commencer, définissons le produit scalaire en fonction des vecteurs A et B.

"La projection scalaire de A sur B multipliée par la magnitude de B"

"La projection scalaire de B sur A multipliée par la magnitude de A"

Cette définition peut bien sûr vous laisser vous demander ce qu'est une projection scalaire, et surtout comment la calculer. Une projection scalaire est la quantité qu'un vecteur voyage dans la direction d'un autre vecteur. Donc, si nous disons que nous voulons la projection de A sur B, nous voulons savoir dans quelle mesure le vecteur A va dans la même direction que le vecteur B et vice versa pour la projection de B sur A.

Ainsi, il est aussi parfois appelé produit scalaire, produit intérieur ou rarement produit de projection.

Encore ,

Le produit vectoriel croisé (produit de zone parfois dirigé pour souligner la signification géométrique) est une opération binaire sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel qui produit un vecteur qui est perpendiculaire aux deux vecteurs et donc normal au plan qui les contient. Dans la vie réelle, il existe de nombreux phénomènes comme lorsque la qualité de 2 vecteurs agit sur le plan mais que le vecteur résultant est normal pour les deux vecteurs. Le plus simple est le mécanisme à vis qui ouvre ou ferme le bouchon de la bouteille

Maintenant, Soit a & b sont deux vecteurs en coordonnées cartésiennes 3D. Trouver un vecteur c perpendiculaire aux deux vecteurs. Selon Dot Product, a. c = 0 et b. c = 0.

Donc,

Résoudre les eqs,

D'après la définition, c = a × b

Prendre la valeur du vecteur,

Du produit Dot de A & B

Donc,


Réponse 2:

En plus des réponses précédentes:

ces deux sont fondamentalement et conceptuellement différents.

Dotproductisanexternalproduct.Itassignstoeachpairofvectorsareal(orcomplex,ifweareoverC)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyond[math]R2[/math]and[math]R3.[/math]Dot product is an “external product”. It assigns to each pair of vectors a real (or complex, if we are over \mathbb{C} ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond [math]\mathbb{R}^2[/math] and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

C\mathbb{C}

)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyondR2and[math]R3.[/math] ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond \mathbb{R}^2 and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

ThecrossproductincontrastisaninternalproductinR3only.Itassignseachpairofvectorsavectorinthesamespace[math]R3[/math],soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]The cross-product in contrast is an “internal” product in \mathbb{R}^3 only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space [math]\mathbb{R}^3[/math], so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Itisnotcommutative,infacta×b=b×a.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:[math]a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.[/math]It is not commutative, in fact a\times b = - b \times a. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: [math]a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.[/math]

R3endowedwiththecrossproductisasimple(maybethemostsimple)exampleofanotherfundamentalmathematicalstructure:Liealgebras. \mathbb{R}^3 endowed with the cross product is a simple (maybe the most simple) example of another fundamental mathematical structure: Lie algebras.

R3\mathbb{R}^3

only.ItassignseachpairofvectorsavectorinthesamespaceR3,soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space \mathbb{R}^3, so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Ce n'est pas commutatif, en fait

a×b=b×aa\times b = - b \times a

.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.

R3 \mathbb{R}^3

 doté du produit croisé est un exemple simple (peut-être le plus simple) d'une autre structure mathématique fondamentale: les algèbres de Lie.


Réponse 3:

En plus des réponses précédentes:

ces deux sont fondamentalement et conceptuellement différents.

Le produit scalaire est un «produit externe». Il attribue à chaque paire de vecteurs un réel (ou complexe, si nous sommes finis

C\mathbb{C}

)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyondR2and[math]R3.[/math] ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond \mathbb{R}^2 and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

Les produits scalaires définissent la mesure des angles et de la longueur de manière très générale. Chaque fois que vous avez un espace vectoriel doté d'un produit scalaire, tel que certaines conditions de complétude naturelle sont remplies, vous avez un exemple d'espace de Hilbert.

Les espaces de Hilbert permettent des décompositions orthogonales, où seuls les exemples les plus élémentaires sont la décomposition de Fourier et les ondelettes.

Le produit croisé en revanche est un produit «interne»

R3\mathbb{R}^3

only.ItassignseachpairofvectorsavectorinthesamespaceR3,soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space \mathbb{R}^3, so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Ce n'est pas commutatif, en fait

a×b=b×aa\times b = - b \times a

.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.

R3 \mathbb{R}^3

 doté du produit croisé est un exemple simple (peut-être le plus simple) d'une autre structure mathématique fondamentale: les algèbres de Lie.


Réponse 4:

En plus des réponses précédentes:

ces deux sont fondamentalement et conceptuellement différents.

Le produit scalaire est un «produit externe». Il attribue à chaque paire de vecteurs un réel (ou complexe, si nous sommes finis

C\mathbb{C}

)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyondR2and[math]R3.[/math] ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond \mathbb{R}^2 and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

Les produits scalaires définissent la mesure des angles et de la longueur de manière très générale. Chaque fois que vous avez un espace vectoriel doté d'un produit scalaire, tel que certaines conditions de complétude naturelle sont remplies, vous avez un exemple d'espace de Hilbert.

Les espaces de Hilbert permettent des décompositions orthogonales, où seuls les exemples les plus élémentaires sont la décomposition de Fourier et les ondelettes.

Le produit croisé en revanche est un produit «interne»

R3\mathbb{R}^3

only.ItassignseachpairofvectorsavectorinthesamespaceR3,soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space \mathbb{R}^3, so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Ce n'est pas commutatif, en fait

a×b=b×aa\times b = - b \times a

.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.

R3 \mathbb{R}^3

 doté du produit croisé est un exemple simple (peut-être le plus simple) d'une autre structure mathématique fondamentale: les algèbres de Lie.