Quelle est la plus petite différence entre une puissance entière positive de deux et une puissance entière positive de dix?


Réponse 1:

2 et 6. il existe déjà de nombreuses réponses décrivant 2, lorsque la puissance de 2 peut être inférieure (10–8 = 2).

Lorsque la puissance de 2 est plus élevée, 6 peut être atteint en 16–10.

La différence peut-elle être moindre? Il suffit de vérifier 2 et 4.

Vérifions que la différence est de 2.

Dans ce cas, la puissance de 2 doit être de 10 ^ n + 2.

Si n = 1, on peut vérifier manuellement que 12 n'est pas une puissance de 2. Supposons donc n> 1.

Dans ce cas, 5. 10 ^ (n-1) + 1 doit être une puissance de 2, mais il ne peut pas l'être car il est impair.

Vérifions maintenant que la différence est de 4.

Dans ce cas, la puissance de 2 doit être de 10 ^ n + 4.

On peut vérifier manuellement 14 et 104, donc n> 2,

Dans ce cas, 25.10 ^ (n-2) + 1 doit être une puissance de 2, mais il ne peut pas l'être car il est impair.


Réponse 2:

10 = 2 * 5, donc 10 ^ N = 2 ^ N * 5 ^ N.

Supposons qu'il y ait un entier positif M tel que 2 ^ M = 10 ^ N, où N est un entier (c'est-à-dire une différence de zéro).

M serait supérieur à N, puisque 2 est inférieur à 5. La division des deux côtés par 2 ^ N donne 2 ^ (M - N) = 5 ^ N.

Cela ne peut pas être vrai car 5 est premier et 2 ne peut pas diviser une puissance entière positive de 5.

Cela signifie que la plus petite différence ne peut pas être nulle.

Maintenant, les deux 2 élevés à n'importe quelle puissance et 10 élevés à n'importe quelle puissance doivent tous deux être pairs (car les deux sont divisibles par 2). Cela signifie que la plus petite différence possible est de 2, car elle ne peut pas être nulle.

Maintenant, écrivez les premières puissances entières positives de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Et les premiers pouvoirs de 10: 10, 100, 1000…

Nous voyons que 10 ^ 1 - 2 ^ 3 = 10 - 8 = 2, la plus petite valeur possible.

Réponse: 2 (la plus petite différence. Notez que la puissance de 10 est supérieure).

En parcourant la liste ci-dessus, la plus petite différence où la puissance de 2 est supérieure est 6. Y a-t-il des cas où elle est plus petite? Je suppose que non, ils divergent de plus en plus. Puis-je le prouver? Pas tout de suite.


Réponse 3:

10 = 2 * 5, donc 10 ^ N = 2 ^ N * 5 ^ N.

Supposons qu'il y ait un entier positif M tel que 2 ^ M = 10 ^ N, où N est un entier (c'est-à-dire une différence de zéro).

M serait supérieur à N, puisque 2 est inférieur à 5. La division des deux côtés par 2 ^ N donne 2 ^ (M - N) = 5 ^ N.

Cela ne peut pas être vrai car 5 est premier et 2 ne peut pas diviser une puissance entière positive de 5.

Cela signifie que la plus petite différence ne peut pas être nulle.

Maintenant, les deux 2 élevés à n'importe quelle puissance et 10 élevés à n'importe quelle puissance doivent tous deux être pairs (car les deux sont divisibles par 2). Cela signifie que la plus petite différence possible est de 2, car elle ne peut pas être nulle.

Maintenant, écrivez les premières puissances entières positives de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Et les premiers pouvoirs de 10: 10, 100, 1000…

Nous voyons que 10 ^ 1 - 2 ^ 3 = 10 - 8 = 2, la plus petite valeur possible.

Réponse: 2 (la plus petite différence. Notez que la puissance de 10 est supérieure).

En parcourant la liste ci-dessus, la plus petite différence où la puissance de 2 est supérieure est 6. Y a-t-il des cas où elle est plus petite? Je suppose que non, ils divergent de plus en plus. Puis-je le prouver? Pas tout de suite.